留数定理ってなんだろう

まず留数って何でしょう。定義を書きます。最初に読むときは飛ばしてください。

＜留数の定義＞

点 $a$ は孤立特異点である。

正則関数 $f(z)$ を点aでローラン級数展開すると

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty C_n (z - a)^n$ =

となる。このとき $C_{-1}$ を点 $a$ における留数という。

留数は $Res(a)$ と表記します。

では説明していきます。

（１）孤立特異点って？

特異点とは、関数が点aで微分不可能なとき、それを特異点aといいます。

特異点aの以外では微分できるなら孤立特異点といいます。

(２)正則関数って何？

微分できる関数という意味です。

（３）ローラン級数展開って何？

テイラー展開の兄弟。詳しくは下の記事で書きます。

（４）留数って何？

複素数の値です。

$c_{-1}=\frac{1}{2πi} \oint_C f(z)dz$

$⇔\oint_C f(z)dz= 2πiRes(a)$ (複素積分値は留数がわかればすぐ計算できる！)

(4.1)なぜそんなことをするのか

　関数 $f(z)$ をローラン展開して各項ごとに積分すれば、 $\frac{1}{z-a}$ の項以外はすべて0になってしまうのです。　留数がわかれば積分の計算をせずに値がわかるんです。

次に留数を求める公式を紹介します。

よく使う１位の極の場合の公式はこれです

$f(z)$ が点aを $1$ 位の極とする。このとき留数は $Res(a) = lim_{z \to a} f(z)\$

次に一般化したときの公式はこれです

$f(z)$ が点aを $m$ 位の極とする。このとき留数は $Res(a) = lim_{z \to a} \frac{1}{(m-1)!} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \{(z-a)^m f(z)\}\$

次に留数定理について書きます。

まずは定義から。読み飛ばしていいです。

$f(z)$ が単純閉曲線C 内で、孤立特異点 $a_1,a_2,a_3,････,a_n$ 以外で正則であるならば、

$\oint_C f(z)dz = 2πi\sum_{k=1}^n Res(a_k)$

が成立する。

（１）単純閉曲線って？

単純閉曲線とは、自分とは交わらない、かつ輪のような形（閉じている）の曲線のことです。

NLの寝言