NLの寝言

むにゃむにゃ

新年の抱負

皆様あけましておめでとうございます。本年度もよろしくお願いいたします。

昨年度の大きな達成事項は、

・学会発で２件発表する

・満足できる企業から内定をもらう

・ポスター賞を取る

でした。内容的に十分満足のいく1年だったと反省できます。

2022年度の目標を年始に書きます。

学業

仕事

プライベート

の3軸で考えます。

学業

・研究で開発したコードを整備して、後輩に渡す（githubに上げる）

・場の量子論を楽しめる程度まで勉強する

・修士論文を提出する

　　論文としてそのまま出版できる結果（研究室に閉じたローカルな内容ではない）

　　読者に親切さのある本文（図を見て読者に判断を委ねる書き方はしない）

　　offensiveではなくむしろdefensiveな構成にする（誰からもケチがつかない、みんながそうだと思う内容）

 

仕事

・FE/APの資格を取る

・Insta / Lineで新しく100人つながる

・締め切りの1週間前に課題を提出して、上司に仕事が速いとほめられる

プライベート

・2週間に1冊読書、年30冊読む（物理から、哲学や経済の本にもスコープを広げる。ログも書く。自己啓発書はNG）

・資産運用を勉強して投資を始める and/or 簿記3級を取る

・海外旅行を1人で行く

 

心構えとして

・オープン化を恐れない

・H先生のようにどんな時でも落ち着く

・社会人1年目でしかできない質問やミスを憚らない

・本業以外の楽しみに繋がる趣味仕事を始めるための種まきをする。その種まきのテーマの共通点を探す(かつでもまたはでもない、メタ的な何か）

留数定理ってなんだろう

まず留数って何でしょう。定義を書きます。最初に読むときは飛ばしてください。

＜留数の定義＞

点aは孤立特異点である。

 

正則関数 f(z)を点aでローラン級数展開すると

f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty C_n (z - a)^n =

となる。このとき C_{-1} を点 aにおける留数という。

留数は Res(a)と表記します。

 

では説明していきます。

 

（１）孤立特異点って？

特異点とは、関数が点aで微分不可能なとき、それを特異点aといいます。

特異点aの以外では微分できるなら孤立特異点といいます。

 

(２)正則関数って何？

微分できる関数という意味です。

 

（３）ローラン級数展開って何？

テイラー展開の兄弟。詳しくは下の記事で書きます。

 

（４）留数って何？

複素数の値です。

c_{-1}=\frac{1}{2πi} \oint_C f(z)dz

⇔\oint_C f(z)dz= 2πiRes(a) (複素積分値は留数がわかればすぐ計算できる！)

 

(4.1)なぜそんなことをするのか

　関数 f(z)をローラン展開して各項ごとに積分すれば、 \frac{1}{z-a}の項以外はすべて0になってしまうのです。　留数がわかれば積分の計算をせずに値がわかるんです。

 

次に留数を求める公式を紹介します。
 よく使う１位の極の場合の公式はこれです
f(z)が点aを 1位の極とする。このとき留数は Res(a) = lim_{z \to a} f(z)\
次に一般化したときの公式はこれです
f(z)が点aを m位の極とする。このとき留数は Res(a) = lim_{z \to a} \frac{1}{(m-1)!} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \{(z-a)^m f(z)\}\
 
 

 

 

次に留数定理について書きます。

まずは定義から。読み飛ばしていいです。

f(z) が 単純閉曲線C 内で、孤立特異点 a_1,a_2,a_3,････,a_n以外で正則であるならば、

\oint_C f(z)dz = 2πi\sum_{k=1}^n  Res(a_k)

が成立する。

 
（１）単純閉曲線って？
単純閉曲線とは、自分とは交わらない、かつ輪のような形（閉じている）の曲線のことです。
 
 
 
 

コーシーの積分定理ってなんだろう

f(z) は 単純閉曲線Cの領域D 上で正則である複素関数とする。

このとき

\oint_C f(z)dz = 0

である。

 

（１）正則って何？

f(z)がDの中のどの点でも微分可能だとってこと！

（2）何が言いたいん？

ある複素関数が正則だったら、1周すると積分はいつも0ってこと

-----------------------------------

これを使って次の公式が求まります

コーシーの積分公式

f(z_0) = \frac{1}{2πi}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz

z_0は」D内の点である。

 

[tex:]

積分公式を微分する公式

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2πi}\oint_C \frac{f(z_0)}{(z-z_0)^{n+1}}dz_0

 

 

フロベニウスの定理って何？

フロベニウスの定理について説明します。

まずはいつもどおり定義から。

＜定義＞

n 次正方行列A の固有値を(重複も含め) λ_1, . . . , λ_n とする.
このとき任意の多項式 f(x)に対し, 行列 f(A) の固有値は(重複も込めて) f(λ_1), . . . , f(λ_n) である。

 

意味がわからなくて当然です。一つずつ説明します。

（１）この公式って何が言いたいん？

λが Aの固有値 → f(λ)が f(A)の固有値

正方行列Aの固有値は簡単に求まります。なのでそれを利用して別の難しい固有値を計算しようって感じ。

（２）正方行列って何？

こちらの記事に詳しく説明しています。

goitaru.hatenablog.com

 （３）固有値って何？

n次正方行列Aがあります。

その時、 A \mathbf{x} =λ \mathbf{x} を満たすベクトル\mathbf{x}

を固有ベクトル、λがAの固有値です。

λはベクトルを伸ばしたり、縮ませたりする（線形性）意味です。

 

 

 

■

グリーンの定理について説明します。

＜定義＞

Cは単純閉曲線、DはCで囲まれた領域とします。

このときC1 級関数 f(x, y),g(x, y) について、以下が成り立つ。 

\oint_C (fdx+gdy) \ = \begin{eqnarray*} \iint_D (\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}) dxdy \end{eqnarray*}

 

 何を言っているかわからなくて結構！　1つずつ説明します。

（0）この公式って何が言いたいん？

線積分と面積分の関係を示しています。すなわち、経路の情報で面積がわかると言っています。

（１）Cは単純閉曲線って？

単純閉曲線とは、自分とは交わらない閉じた曲線のことです。

（２）DはCで囲まれた領域って？

Cで囲まれた内側部分のことです。

（３）C1 級関数って？

微分可能で、 f'(x) \が連続だよということです。

（４） \oint_C ってどういう記号？

始まりと終わりの点が一致しているときにつかう。点の動き（経路C）を示しています（線積分）

つまり積分区間は図形１周分。

（５）左辺の意味って？

左辺は点の動く道筋（経路）を示しています。 関数をDを微分した領域で積分してます

（６）右辺の意味って？

偏導関数をDで積分しています。

左辺も右辺も、微分したものを積分していますよね？なので等しい。

（７）線積分って何？

経路Cを決めて、その経路（線）に沿う積分のこと。

 

 

 

行列第２回　種類わけ

 行列の種類を確認しておきましょう。

（０）零行列

A = \left( \begin{array}{ccc} 0 \quad 0  \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \end{array} \right) \

のように全部0の行列を零行列といいます。

（１）正方行列

A = \left( \begin{array}{ccc} a \quad b \quad c \\ d \quad e \quad f \\ g \quad h \quad i \end{array} \right) \

のように行、列の個数がともにNこである行列を　N次正方行列といいます。

（２）対角行列 

A = \left( \begin{array}{ccc} a \quad 0  \quad 0 \\ 0 \quad b \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad c \end{array} \right) \

 のように正方行列かつ、対角線以外が0の行列を対角行列といいます。

（３）単位行列

A = \left( \begin{array}{ccc} 1 \quad 0  \quad 0 \\ 0 \quad 1 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad 1 \end{array} \right) \

のように正方行列かつ、対角行列かつ、 a=b=c=1の行列を単位行列といいます。

 

-----------------------------------ここまでが基本　次から応用にはいります。

（4）転置行列

ある行列Aの行と列を入れ替えたものを転置行列といいます。例えば

A = \left( \begin{array}{ccc} a \quad b \quad c \\ d \quad e \quad f  \end{array} \right) \

のとき

{}^t\!A = \left( \begin{array}{ccc} a \quad d \\ b \quad e \\ c \quad f \end{array} \right) \　となります。